Question

已知f（x）=x³+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是f（x）的導函數．
（1）對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求實數x的取值范圍；
（2）設直線3x+y+1=0是函數y=f（x）圖象的一條切線，求函數y=f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）原問題轉化為（3-x）a+3x²-5＜0在a∈[-1，1]恒成立，構造函數f（a）=（3-x）a+3x²-5，原不等式等價于f（a）＜0在a∈[-1，1]恒成立，從而只需要

f(1)＞0 f(-1)＞0

即可，進而解不等式即可．
（2）設切點為（x₁，y₁），利用導數的幾何意義求得a值，再求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調減區(qū)間．

解答：解：f'（x）=3x²+3a，g（x）=3x²-ax+（3a-5），
（1）由g（x）＜0得3x²-ax+（3a-5）＜0，即（3-x）a+3x²-5＜0在a∈[-1，1]恒成立，
則

(3-x)×(-1)+3x2-5＜0 (3-x)×1+3x2-5＜0

，即

3x2+x-8＜0 3x2-x-2＜0

，即

- 1+ 97 6 ＜x＜- 1- 97 6 - 2 3 ＜x＜1

，
所以實數x的取值范圍是(-

2

3

，1)．----（6分）
（2）設切點為（x₁，y₁），則

y1=x13+3ax1-1 3x1+y1+1=0

，得到x₁³+3ax₁-1=-3x₁-1，
得到x₁=0或x₁²=-3a-3．
又切線的斜率k=f'（x₁）=-3，即3x₁²+3a=-3．
①若x₁=0，則a=-1
②若x₁²=-3a-3，則3×（-3a-3）+3a=-3，則a=-1．
綜上所述，a=-1，所以f（x）=x³-3x-1，則f'（x）=3x²-3．
若f'（x）＞0，則x＜-1或x＞1，所以f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）．
若f'（x）＜0，則-1＜x＜1，即f（x）的單調遞減區(qū)間為（-1，1）．----（12分）

點評：本題以不等式為載體，恒成立問題，考查利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉化思想．屬于基礎題．