Question

在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，，a₆+a₇=3，則滿足a₁+a₂+…+a_n＞a₁a₂…a_n的最大正整數(shù)n的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公比為q，由題意可得關(guān)于這兩個(gè)量的方程組，解之可得數(shù)列的通項(xiàng)公式和a₁+a₂+…+a_n及a₁a₂…a_n的表達(dá)式，化簡可得關(guān)于n的不等式，解之可得n的范圍，取上限的整數(shù)部分即可得答案．
解答：解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公比為q，
由題意可得，解之可得得：a₁=，q=2，
故其通項(xiàng)公式為a_n==2^n-6．
記T_n=a₁+a₂+…+a_n==，
S_n=a₁a₂…a_n=2^-5×2^-4…×2^n-6=2^-5-4+…+n-6=．
由題意可得T_n＞S_n，即＞，
化簡得：2ⁿ-1＞，即2ⁿ-＞1，
因此只須n＞，即n²-13n+10＜0
解得 ＜n＜，
由于n為正整數(shù)，因此n最大為的整數(shù)部分，也就是12．
故答案為：12
點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的求和公式和一元二次不等式的解法，屬中檔題．