Question

設(shè)橢圓與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為2，若橢圓方程為25x²+9y²=225，求雙曲線(xiàn)方程．

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，進(jìn)而可知雙曲線(xiàn)的半焦距，設(shè)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率之和求得a，再利用c求得b．答案可得．

解答：解：整理橢圓方程得

x2

9

+

y2

25

=1
∴c₁=

25-9

=4
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）（0，-4），離心率e₁=

4

5

∴設(shè)雙曲線(xiàn)方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1，
則半焦距c₂=4

4

a

+

4

5

=2，a=

10

3

b=

c2- a2

=

2 11

3

∴雙曲線(xiàn)方程為

y2

100 9

-

x2

44 9

=1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．．在求曲線(xiàn)方程的問(wèn)題中，巧設(shè)方程，減少待定系數(shù)，是非常重要的方法技巧．特別是具有公共焦點(diǎn)的兩種曲線(xiàn)，它們的公共點(diǎn)同時(shí)具有這兩種曲線(xiàn)的性質(zhì)，解題時(shí)要充分注意．