已知n是正整數(shù),數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,數(shù)列{數(shù)學(xué)公式}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,數(shù)列{ Tn }的前n項(xiàng)和為Pn,Sn是nan與an的等差中項(xiàng)•
(1)求Sn
(2)證明:(n+1)Tn+1-nTn-1=Tn;
(3)是否存在數(shù)列{bn},使Pn=(bn+1)Tn-bn?若存在,求出所有數(shù)列{bn},若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:(1)∵Sn是nan與an的等差中項(xiàng),
∴2Sn=nan+an,
∴2Sn+1=(n+1)an+1+an+1,
∴2Sn+1-2Sn=2an+1=(n+1)an+1+an+1-nan-an
化簡(jiǎn),得
,
∴{an}是等差數(shù)列,

(2)證明:∵(n+1)Tn+1-nTn-1=n(Tn+1-Tn)+Tn+1-1
=
=,
∴Tn=(n+1)Tn+1-nTn-1.
(3)解:∵Tn=(n+1)Tn+1-nTn-1,
∴T1+T2+…+Tn=[2T2-T1-1]+[3T3-2T2-1]+…+[(n+1)Tn+1-nTn-1]
=(n+1)Tn+1-T1-n
=(n+1)Tn-n,
∴Pn=(n+1)Tn-n
∴存在數(shù)列{bn},使Pn=(bn+1)Tn-bn,且bn=n.
分析:(1)由題設(shè)知2Sn=nan+an,2Sn+1=(n+1)an+1+an+1,所以,,由此能求出
(2)由(n+1)Tn+1-nTn-1=n(Tn+1-Tn)+Tn+1-1==,知Tn=(n+1)Tn+1-nTn-1.
(3)由Tn=(n+1)Tn+1-nTn-1,知Pn=(n+1)Tn-n,故存在數(shù)列{bn},使Pn=(bn+1)Tn-bn,且bn=n.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法和數(shù)列的證明,解題過(guò)程中合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知n是正整數(shù),數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,數(shù)列{
1an
}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,數(shù)列{ Tn }的前n項(xiàng)和為Pn,Sn是nan與an的等差中項(xiàng)•
(1)求Sn;
(2)證明:(n+1)Tn+1-nTn-1=Tn;
(3)是否存在數(shù)列{bn},使Pn=(bn+1)Tn-bn?若存在,求出所有數(shù)列{bn},若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知n是正整數(shù),數(shù)列{art }的前n項(xiàng)和為Sna1=1,數(shù)列{
1
an
}的前n項(xiàng)和為T(mén)n數(shù)列{ Tn }的前n項(xiàng)和為Pn,Sn,是nan,an的等差中項(xiàng)•
(I )求
lim
n→∞
Sn
n2

(II)比較(n+1)Tn+1-nTn與1+Tn大。
(III)是否存在數(shù)列{bn},使Pn=(bn+1)Tn-bn?若存在,求出所有數(shù)列{bn},若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知n是正整數(shù),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任何正整數(shù)n,等式Sn=-an+
12
(n-3)都成立.
(I)求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1
(II)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(III)設(shè)數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,不等式2Tn≤(2n+4)Sn+3是否對(duì)一切正整數(shù)n恒成立?若不恒成立,請(qǐng)求出不成立時(shí)n的所有值;若恒成立,請(qǐng)給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知n是正整數(shù),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn是nan與an的等差中項(xiàng),則an等于(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知n是正整數(shù),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=-an+
12
(n-3),數(shù)列(nan)的前n項(xiàng)和為T(mén)n
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求Tn;
(3)設(shè)An=2Tn,Bn=(2n+4)Sn+3,試比較An與Bn的大小.

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