Question

定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x），對(duì)于任意的a，b∈（0，+∞），都有f（ab）=f（a）+f（b）成立，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．
（1）求證：1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明；
（3）若f(

1

4

)=

1

2

，解不等式f(mx+

1

16

)＞1（m＞0）．

Answer 1

分析：（1）此問(wèn)可以采用分析法分析，要證結(jié)論成立只需證f（1）=0，結(jié)合條件：任意的a，b∈（0，+∞），都有f（ab）=f（a）+f（b）成立，中的任意性只要對(duì) a、b取特值即可解決此問(wèn)題；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，首先應(yīng)在給定區(qū)間上任設(shè)兩數(shù)并限定大小，在充分利用條件：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0即可獲得兩數(shù)對(duì)應(yīng)函數(shù)值之間的大小，從而問(wèn)題即可獲得解答；
（3）首先結(jié)合所給不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為左右兩邊都為抽象表達(dá)形式的不等式，再結(jié)合所證明的單調(diào)性即可獲得問(wèn)題的解答．

解答：證明：（1）令a=b=1，
則f（1×1）=f（1）+f（1）=f（1），
∴f（1）=0
∴1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．
（2）令a=x，b=

1

x

，
則f（1）=f（x•

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=0，
∴f（

1

x

）=-f（x），
任意x₁、x₂∈（0，+∞），且x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1，
∴f(

x2

x1

) =f(x2) +f(

1

x1

) =f(x2) -f(x1)＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）∵f(

1

16

) =f(

1

4

) +f(

1

4

) =

1

2

+

1

2

=1，
∴不等式f(mx+

1

16

)＞1．即為：f(mx+

1

16

)＞f(

1

16

)，
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴0＜mx+

1

16

＜

1

16

，又∵m＞0，
解得：-

1

16m

＜x＜0
故不等式的解集為：x|-

1

16m

＜x＜0}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用好條件中的函數(shù)性質(zhì)等式．判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性通常應(yīng)用定義法．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．