Question

【題目】已知函數(shù)， （為常數(shù)）．

（1）若函數(shù)與函數(shù)在處有相同的切線，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，且，證明： ；

（3）若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，因此先求導(dǎo)，再代入得： ， ，可得結(jié)果；（2）構(gòu)造差函數(shù)，證明不等式轉(zhuǎn)化為求其最小值小于零，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值： ， ，所以， ；（3）不等式恒成立問題，一般利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，也可直接構(gòu)造差函數(shù)，分類討論最值進(jìn)行求解.

試題解析：（1），則且．

所以函數(shù)在處的切線方程為： ，從而，即．

（2）由題意知：設(shè)函數(shù)，則．

設(shè)，從而對任意恒成立，

所以，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，所以當(dāng)時(shí)， 成立．

（3）設(shè)，從而對任意，不等式恒成立．

當(dāng)時(shí)， 恒成立，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增． 于是，不等式對任意恒成立，不符合題意。

2）當(dāng)，即恒成立時(shí)， 單調(diào)遞減．

設(shè)，則， ，即，符合題意。

3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

所以，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．

于是當(dāng)時(shí)， 成立，不符合題意。

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．