Question

已知函數(shù)f（x）=3ax⁴-2（3a+1）x²+4x
（1）當(dāng)時，求f（x）的極值與相應(yīng)的x的值；
（2）f（x）在（-1，1）上不是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4
（1）當(dāng)時，f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2），求得導(dǎo)數(shù)為0的方程的根，確定函數(shù)的單調(diào)性，進而可求函數(shù)的極值與極值點；
（2）考慮問題的反面，假設(shè)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，則f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立，從而3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立，求得a的反面，取其補集，可求a的取值范圍．
解答：解：求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4
（1）當(dāng)時，f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2）
令f′（x）=2（x-1）²（x+2）=0，∴x₁=1，x₂=-2
∵函數(shù)在（-∞，-2）上單調(diào)減，在（-2，1）上單調(diào)增，在（1，+∞）上單調(diào)增
∴函數(shù)的極值點是x=-2，f（x）的極值為-12；
（2）假設(shè)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，則f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立
∴3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立
令g（x）=3ax²+3ax-1，則
或或a=0
∴或或a=0
∴
∴f（x）在（-1，1）上不是增函數(shù)，a的取值范圍為
點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查函數(shù)的極值與函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．