Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A₁(-3,0)、A₂(3,0)、P(x,y)、M(,0)，若實(shí)數(shù)λ使向量、λ、滿足λ²·()²=·.

(1)求P點(diǎn)的軌跡方程，并判斷P點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線；

(2)當(dāng)λ=時(shí)，過點(diǎn)A₁且斜率為1的直線與(1)中的曲線相交的另一點(diǎn)為B，能否在直線x=-9上找一點(diǎn)C，使△A₁BC為正三角形.

Answer 1

解：(1)由已知可得=(x+3,y), =(x-3,y), =(x²-9,0).

    ∵λ²()²=·,

    ∴λ²(x²-9)=x²-9+y²,

    即P點(diǎn)的軌跡方程是(1-λ²)x²+y²=9(1-λ²).

    當(dāng)1-λ²＞0且λ≠0，即λ∈(-1,0)∪(0,1)時(shí)，有+=1,P點(diǎn)的軌跡是橢圓；

    當(dāng)λ=0時(shí)，方程為x²+y²=9,P點(diǎn)的軌跡是圓；

    當(dāng)1-λ²＜0，即λ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時(shí)，方程為-=1,P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；

    當(dāng)1-λ²=0，即λ=±1時(shí)，方程為y=0，P點(diǎn)的軌跡是直線.

    (2)過點(diǎn)A₁且斜率為1的直線方程為y=x+3.

    當(dāng)λ=時(shí)，曲線方程為+=1.

    由得5x²+18x+9=0,x₁=-3,x₂=-.

    從而|A₁B|=|x₂-x₁|=.

    設(shè)C(-9,y),|A₁C|==,

    因?yàn)椤鰽₁BC是正三角形，|A₁B|=|A₁C|，=，即y²=-,無解.

    所以在直線x=3上找不到點(diǎn)C，使△A₁BC是正三角形.