已知a、b、c∈R+，求證：(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc．

答案：
解析：

　　證法一：(綜合法)

　　∵ab＋a＋b＋1＝(a＋1)(b＋1)，

　　ab＋ac＋bc＋c2＝(a＋c)(b＋c)，

　　又∵a＞0，b＞0，c＞0，

　　∴a＋1≥2＞0，b＋1≥2＞0，

　　a＋c≥2＞0，b＋c≥2＞0．

　　∴(a＋c)(b＋c)≥4＝

　　(a＋1)(b＋1)≥4＞0．

　　因此當(dāng)a、b、c∈R+時，有

　　(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc，結(jié)論得證．

　　證法二：(分析綜合法)

　　要證(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc成立，

　　只需證(a＋1)(b＋1)(a＋c)(b＋c)≥16abc成立．

　　由于a＞0，b＞0，c＞0，

　　∴a＋1≥2，b＋1≥2，

　　a＋c≥2，b＋c≥2．

　　∴(a＋1)(b＋1)(a＋c)(b＋c)≥2·2·2·2＝16abc，

　　即(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc成立．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

50、已知a，b，c∈R，證明：a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明：
（1）已知x，y都是正實(shí)數(shù)，求證：x3+y3≥x2y+xy2，
（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2 ≥ 
13
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c∈R+且滿足a+2b+3c=1，則
1
a
+
1
2b
+
1
3c
的最小值為
9
9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥
1
3
；
（2）a，b，c為互不相等的正數(shù)，且abc=1，求證：
1
a
+
1
b
+
1
c
＞
a
+
b
+
c
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c∈R，且a＞b，那么下列不等式中成立的是（　�。�

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