Question

已知橢圓E的方程為，其左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（-3，0），過點(diǎn)F的直線（不垂直于坐標(biāo)軸）與E交于A，B兩點(diǎn)．
（I）證明：∠AMF=∠FMB；
（II）求△MAB面積S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I） 由  可得  （1+3k²）x²+12k² x+12k²-6=0，求出x₁+x₂ 和x₁•x₂ 
的值，求得AM 和BM 的斜率之和 K_AM+K_BM=0，從而得到∠AMF=∠FMB  成立．
（II）由△MAB面積S= MF•|y₁-y₂|=•，令 t=1+3k²，t≥1  得S=•≤，從而得出結(jié)論．
解答：解：（I）證明：根據(jù)題意，設(shè)AB的直線方程為 y=k（x+2），k≠0，A （x₁，y₁ ），B（x₂，y₂），
由  可得  （1+3k²）x²+12k² x+12k²-6=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴K_AM+K_BM==，
∴2x₁•x₂+5（x₁+x₂）+12=++12=0，
∴∠AMF=∠FMB  成立．
（II）求△MAB面積S= MF•|y₁-y₂|=•|k|• 
==•．
令 t=1+3k²，t≥1，則 S=•=•≤，
故△MAB面積S的最大值等于 ．
點(diǎn)評：本題考查直線的斜率公式，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，得到△MAB面積S=
•，是解題的難點(diǎn)．