Question

已知雙曲線x²-y²=1的左、右頂點分別為A₁、A₂，動直線l：y=kx+m與圓x²+y²=1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求k的取值范圍，并求x₂-x₁的最小值；
（Ⅱ）記直線m≤

x

lnx

的斜率為φ=

x

lnx

，直線m≤φ（x）_min的斜率為φ′(x)=

lnx-1

ln2x

，那么，x∈（1，e）是定值嗎？證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由l與圓相切，知m²=1+k²，由

y=kx+m x2-y2=1

，得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，故k的取值范圍為（-1，1）．由此能求出x₂-x₁取最小值2

2

．
（Ⅱ）由已知可得A₁，A₂的坐標分別為（-1，0），（1，0），所以k1•k2=

y1y2

(x1+1)(x2-1)

=

(kx1+m)(kx2+m)

(x1+1)(x2-1)

=

k2-m2

m2-k2+2-2 2

，由此能求出k1•k2=

-1

3-2 2

=-(3+2

2

)為定值．

解答：解：（Ⅰ）∵l與圓相切，
∴1=

|m|

1+k2

，
∴m²=1+k²①
由

y=kx+m x2-y2=1

，
得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，
∴

1-k2≠0 △=4m2k2+4(1-k2) x1•x2= m2+1 k2-1 ＜0

(m2+1)=4(m2+1-k2)=8＞0，
∴k²＜1，
∴-1＜k＜1，
故k的取值范圍為（-1，1）．
由于x1+x2=

2mk

1-k2

∴x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2

|1-k2|

=

2 2

1-k2

，
∵0≤k²＜1
∴當k²=0時，x₂-x₁取最小值2

2

．（6分）
（Ⅱ）由已知可得A₁，A₂的坐標分別為（-1，0），（1，0），
∴k1=

y1

x1+1

，k2=

y2

x2-1

，
∴k1•k2=

y1y2

(x1+1)(x2-1)

=

(kx1+m)(kx2+m)

(x1+1)(x2-1)

=

k2x1x2+mk(x1+x2)+m2

x1x2+(x2-x1)-1

=

k2• m2+1 k2-1 -mk• 2mk k2-1 +m2

m2+1 k2-1 - 2 2 k2-1 -1

=

m2k2+k2-2m2k2+m2k2-m2

m2+1-2 2 -k2+1

=

k2-m2

m2-k2+2-2 2

，
由①，得m²-k²=1，
∴k1•k2=

-1

3-2 2

=-(3+2

2

)為定值．（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．