Question

已知函數(shù)f（x）=+lnx（a≠0）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）求證：ln2＜＜ln3（n∈N^*）

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出f′（x），對(duì)a進(jìn)行討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)a進(jìn)行討論，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，對(duì)函數(shù)的最小值進(jìn)行求導(dǎo)，即可求得a的取值范圍；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，a=′1時(shí)，f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分別令，即可證得結(jié)果．
解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù) ，其定義域?yàn)椋?，+∞）
所以f′（x）=[]′+（lnx）′=
即 
當(dāng)a＜0時(shí)，增區(qū)間為﹙0，+∞﹚；
當(dāng)a＞0時(shí)，減區(qū)間為﹙0，），增區(qū)間為（，+∞）
（2）1°當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)增區(qū)間為﹙0，+∞﹚，此時(shí)不滿(mǎn)足f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
2°當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)減區(qū)間為﹙0，），增區(qū)間為（，+∞），
要使f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
只需f（）≥0即可，
即1--lna≥0，
令g（a）=1--lna  （a＞0）
則g′（a）=-==0，
解得a=1，因此g（a）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)a=1時(shí)，g（a）取最大值0，
故f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)成立，即a=1；
（3）由（2）知，令時(shí)，＞0（k∈N^*）
∴（k∈N^*）
∴
令，則＞0（k∈N^*）
∴（k∈N^*）
∴
綜上成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)的最值，利用函數(shù)思想時(shí)也要用導(dǎo)數(shù)來(lái)求最值，考查靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，屬難題．