Question

已知y=2cos²x+4asinx+a-3
（1）求函數(shù)最大值M（a）的表達(dá)式．
（2）若f（x）=0在[0，π]有2個(gè)解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）y=2cos²x+4asinx+a-3=2a²+a-1-2（sinx-a）²，當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，函數(shù)最大值M（a）=2a²+a-1，當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)最大值M（a）=2a²+a-1-2 （-1-a）²=-3a-3； 當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)最大值M（a）=2a²+a-1-2 （1-a）²=5a-3．
（2）令 sinx=t，由0≤x≤π，得0≤sinx≤1，由題意可得g（t）=2a²+a-1-2（t-a）²，的圖象在[0，1）上與橫軸
只有一個(gè)交點(diǎn)，故有

△ = 16a2+8a-8= 0 0≤a＜1 g(0) ≤0 g(1)＜0

，解不等式求得a的取值范圍．

解答：解：（1）y=2cos²x+4asinx+a-3=2a²+a-1-2（sinx-a）²，當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，函數(shù)最大值M（a）=2a²+a-1．
 當(dāng)  a＜-1時(shí)，函數(shù)最大值M（a）=2a²+a-1-2 （-1-a）²=-3a-3．
當(dāng) a＞1時(shí)，函數(shù)最大值M（a）=2a²+a-1-2 （1-a）²=5a-3．
（2）若f（x）=0在[0，π]上有2個(gè)解，令 sinx=t，∵0≤x≤π，∴0≤sinx≤1，∴0≤t≤1．
由于當(dāng)t在[0，1）上任意取一個(gè)值，x在[0，π）]上都有2個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，而當(dāng)t=1時(shí)，只有一個(gè)x=

π

2

與之對(duì)應(yīng)．
故由題意f（x）=0在[0，π]有2個(gè)解，可得關(guān)于t的函數(shù) g（t）=2a²+a-1-2（t-a）² =-2t²+4at+a-1
的圖象在[0，1）上，與橫軸只能有一個(gè)交點(diǎn)，
即關(guān)于t的方程 g（t）=0在[0，1）上有唯一解．
∴

△ = 16a2+8a-8= 0 0≤a＜1 g(0) ≤0 g(1)＜0

，即

a = 1 2  ，或a=-1 0＜a＜1 a-1≤0 5a-3＜0

，∴a=

1

2

，
故a的取值范圍是 {

1

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，令 sinx=t，判斷g（t）=2a²+a-1-2（t-a）²，在[0，1]上，與橫軸有兩個(gè)交點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．