Question

設函數f(x)=x+

a2

x

(a＞0)，
（1）求證：函數f（x）是奇函數；
（2）試用函數的單調性的定義證明函數f（x）在區(qū)間（0，a]單調遞減；
（3）試判斷（不必證明）函數f（x）在定義域上的單調性．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義f（-x）=-f（x）可判斷函數f（x）是奇函數；
（2）可設0＜x₁＜x₂≤a，然后作差后化為乘積，f(x1)-f(x2)=x1+

a2

x1

-x2-

a2

x2

=(x1-x2)(1-

a2

x1x2

)，結合題意討論每個因式的符號，利用單調性的定義即可證明函數f（x）在區(qū)間（0，a]上單調遞減；
（3）利用函數f（x）是奇函數，在區(qū)間（0，a]上單調遞減；在[a，+∞）上單調遞增；從而可判斷在對稱區(qū)間上具有相同的單調性．

解答：解：（1）證明：因為f（x）的定義域為{x∈R|x≠0}，且f(-x)=-x-

a2

x

=-f(x)，
故f（x）是奇函數；
（2）證明：設0＜x₁＜x₂≤a，則f(x1)-f(x2)=x1+

a2

x1

-x2-

a2

x2

=(x1-x2)(1-

a2

x1x2

)．
因為0＜x₁＜x₂≤a，所以0＜x₁x₂＜a²，從而1-

a2

x1x2

＜0且x₁-x₂＜0，故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
因此函數f（x）在區(qū)間（0，a]上單調遞減；同理可以證明函數f（x）在區(qū)間[a，+∞）上單調遞增；
（3）∵f（x）是奇函數；在區(qū)間（0，a]上單調遞減，在區(qū)間[a，+∞）上單調遞增；
∴函數f（x）在區(qū)間（-∞，-a]上單調遞增，在區(qū)間[-a，0）上單調遞減，
綜上所述：函數f（x）在區(qū)間（-∞，-a]上單調遞增，在區(qū)間[-a，0）上單調遞減，在（0，a]上單調遞減，在[a，+∞）上單調遞增．

點評：本題考查函數奇偶性的判斷，著重考查學生對定義法判斷函數奇偶性與單調性的掌握，及對函數性質的理解與應用，屬于中檔題．