Question

已知函數f（x）=（x＞0）．
（1）求數列{a_n}滿足a₁=1，，求a_n；
（2）若b_n=a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²，是否存在最小正整數P，使對任意x∈N^*，都有b_n＜成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據化簡可得數列{}是首項為1，公差為4的等差數列，求出數列{}通項，從而求出a_n；
（2）根據（1）可求出b_n，從而求出b_n+1，將兩式作差得b_n+1-b_n＜0，得到{b_n}是遞減數列，存在最大項b₁，只需b₁＜求出P，即可求出所求．
解答：解：（1）由得
∴數列{}是首項為1，公差為4的等差數列
∴=4n-3，又a_n＞0，所以a_n=
（2）根據（1）得b_n=a_n+1²+a_n+2²+…+…+
b_n+1=…+
因為b_n+1-b_n=，所以{b_n}是遞減數列
存在最大項b₁=，依題意，只需，解得P＞
又P∈N^*，所以存在最小正整數P=8，使不等式成立．
點評：本題主要考查了等差數列的判定，以及數列的通項公式和數列與函數的綜合、數列與不等式的綜合，同時考查了計算能力，屬于中檔題．