Question

已知f(x)=2mx+

n

x

+lnx在x=1與x=

1

2

處都取得極值．
（1）求m，n的值；
（2）若對(duì)x∈[

1

4

，4]時(shí)，f(x)＞lnc-

31

12

恒成立，求c的取值范圍；

Answer 1

分析：（1）利用f′（1）=0，和 f′（

1

2

）=0可以求出m，n的值．
（2）由f′（x）的符號(hào)判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)f（x）的單調(diào)性求出f（x）的最小值，
要使f(x)＞lnc-

31

12

恒成立，需f（x）的最小值大于lnc-

31

12

，從而求出c的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=2m-

n

x2

+

1

x

，由求函數(shù)極值的過程可知1與

1

2

為
方程2m-

n

x2

+

1

x

=0的兩個(gè)根．代入得

2m-n+1=0 2m-4n+2=0

解之得m=-

1

3

 ，n=

1

3

．（5分）
（2）由（1）得f(x)=-

2

3

x+

1

3x

+lnx，f′(x)=-

2

3

-

1

3x2

+

1

x

=-

1

3x2

(x-1)(2x-1)．（7分）
故當(dāng)x∈[

1

4

，

1

2

)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
當(dāng)x∈(

1

2

，1)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，4]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是減函數(shù)，
又f(

1

2

)=

7

6

-ln2.，f(4)=-

8

3

+

1

12

+2ln2
f（4）-f(

1

2

)=-

8

3

+

1

12

+2ln2-(

7

6

-ln2．)=-

15

4

+3ln2＜-3+3=0
∴在x∈[

1

4

，4]上，f（x）的最小值為f(4)=-

31

12

+2ln2（10分）
使f(x)＞lnc-

31

12

恒成立，只要lnc-

31

12

＜-

31

12

+2ln2
∴0＜c＜4（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)存在極值的條件，函數(shù)的恒成立問題往往需要研究函數(shù)的最值．