Question

判斷下列函數的奇偶性
（A）f（x）=

0(x為無理數) 1(x為有理數)

 

；
（B）f(x)=ln(

1+x2

-x)

 

；
（C）f(x)=

1+sinx-cosx

1+sinx+cosx

 

；
（D）f(x)=

x

ax-1

+

x

2

，（a＞0，a≠0）

 

．

Answer 1

分析：要判斷函數的奇偶性即要在定義域關于y軸對稱的條件下，找出當自變量為-x時的函數值與自變量為x的函數值的關系，f（-x）=f（x），函數為偶函數；f（-x）=-f（x），函數為奇函數．利用這個方法即可判斷A、B、C、D的正確與否．

解答：解：（A）根據奇偶性的判別方法得到非奇非偶；
（B）因為f（-x）=ln（

1+(-x)2

+x）=ln

1

1+x2 -x

=-ln（

1+x2

-x）=-f（x），所以函數為奇函數；
（C）因為f（-x）=

1-sinx-cosx

1-sinx+cosx

≠±f（x），所以函數非奇非偶；
（D）因為f（-x）=

-x

a-x-1

-

x

2

≠±f（x），所以函數非奇非偶．
故答案為A、非奇非偶，B、奇函數，C、非奇非偶，D、非奇非偶．

點評：此題是一道函數奇偶性判斷的應用題，學生做題時會利用f（-x）=±f（x）判斷函數的奇偶性．