Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，f(x)=

x-1，1≤x≤2 3-x，2＜x＜3

；②f（3x）=3f（x）．
（i）f（6）=

3

；
（ii）若函數(shù)F（x）=f（x）-a的零點(diǎn)從小到大依次記為x₁，x₂，…，x_n，…，則當(dāng)a∈（1，3）時(shí)，x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=

6（3ⁿ-1）

．

Answer 1

分析：（i）由于f（3x）=3f（x），可得f（6）=3f（2），又當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=2-1=1，即可得到f（6）．
（ii）如圖所示，由題意當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，不必考慮．利用已知可得：當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，由

x

3

∈[1，2]，可得f(x)=3f(

x

3

)，f（x）∈[0，3]；同理，當(dāng)x∈（6，9）時(shí)，f（x）∈[0，3]；此時(shí)f（x）∈[0，3]．分別作出y=f（x），y=a，則F（x）=f（x）-a在區(qū)間（3，6）和（6，9）上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別為x₁，x₂，且滿足x₁+x₂=2×6，依此類推：x₃+x₄=2×18，…，x_2n-1+x_2n=2×2×3ⁿ．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解：當(dāng)1≤x≤2時(shí)，0≤f（x）≤1；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，0＜f（x）＜1，可得當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，f（x）∈[0，1]．
（i）∵f（3x）=3f（x），∴f（6）=3f（2），又當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=2-1=1，
∴f（6）=3×1=3．
（ii）當(dāng)

1

3

≤x＜1時(shí)，則1≤3x＜3，由f(x)=

1

3

f(3x)可知：f(x)∈[0，

1

3

]．
同理，當(dāng)x∈[0，

1

3

)時(shí)，0≤f（x）＜1，因此不必要考慮．
當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，由

x

3

∈[1，2]，可得f(x)=3f(

x

3

)，f（x）∈[0，3]；
同理，當(dāng)x∈（6，9）時(shí)，由

x

3

∈(2，3)，可得f(x)=3f(

x

3

)，f（x）∈[0，3]；
此時(shí)f（x）∈[0，3]．作出直線y=a，a∈（1，3）．
則F（x）=f（x）-a在區(qū)間（3，6）和（6，9）上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別為x₁，x₂，且滿足x₁+x₂=2×6，
依此類推：x₃+x₄=2×18，…，x_2n-1+x_2n=2×2×3ⁿ．
∴當(dāng)a∈（1，3）時(shí)，x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=4×（3+3²+…+3ⁿ）=4×

3(3n-1)

3-1

=6×（3ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、區(qū)間轉(zhuǎn)換、對(duì)稱性、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于難題．