Question

如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2

3

．
（1）求直線AM與平面BCD所成的角的大��；
（2）求平面ACM與平面BCD所成的二面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，延長AM、BO相交于E，根據(jù)線面所成角的定義可知∠AEB就是AM與平面BCD所成的角，在三角形AEB中求出此角即可；
（2）CE是平面ACM與平面BCD的交線，作BF⊥EC于F，連AF，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，在三角形AFB中求出此角的正弦值，從而求出二面角的正弦值．

解答：解：（1）取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD．
又平面MCD⊥平面BCD，則MO⊥平面BCD，
所以MO∥AB，A、B、O、M共面．延長AM、BO相交于E，
則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角．
OB=MO=

3

，MO∥AB，則

EO

EB

=

MO

AB

=

1

2

，EO=OB=

3

，所以EB=2

3

=AB，故∠AEB=45°．
（2）CE是平面ACM與平面BCD的交線．
由（1）知，O是BE的中點(diǎn)，則BCED是菱形．
作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，
設(shè)為θ．
因?yàn)椤螧CE=120°，所以∠BCF=60°．
BF=BC•sin60°=

3

．
tanθ=

AB

BF

=2 ， sinθ=

2 5

5

所以，所求二面角的正弦值是

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了考查立體圖形的空間感、線面角、二面角、空間向量、二面角平面角的判斷有關(guān)知識(shí)，同時(shí)也考查了空間想象能力和推理能力．