Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁∈（0，1），a_n=，n=2，3，4…
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求證b_n＜b_n+1，其中n為正整數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題條件知，所以{1-a_n}是首項(xiàng)為1-a₁，公比為的等比數(shù)列，由此可知
（2）方法一：由題設(shè)條件知，故b_n＞0．那么，b_n+1²-b_n²=a_n+1²（3-2a_n+1）-a_n²（3-2a_n）=由此可知b_n＜b_n+1，n為正整數(shù)．
方法二：由題設(shè)條件知，所以．由此可知b_n＜b_n+1，n為正整數(shù)．
解答：解：（1）由，
整理得．
又1-a₁≠0，所以{1-a_n}是首項(xiàng)為1-a₁，公比為的等比數(shù)列，得
（2）方法一：
由（1）可知，故b_n＞0．
那么，b_n+1²-b_n²
=a_n+1²（3-2a_n+1）-a_n²（3-2a_n）
=
=
又由（1）知a_n＞0且a_n≠1，故b_n+1²-b_n²＞0，
因此b_n＜b_n+1，n為正整數(shù)．
方法二：
由（1）可知，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212453813157510/SYS201310232124538131575020_DA/15.png">，
所以．
由a_n≠1可得，
即
兩邊開(kāi)平方得．
即b_n＜b_n+1，n為正整數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．