已知函數(shù)f（x）=lg
1+x
1-x
．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并證明．
（3）求證：f（a）+f（b）=f（
a+b
1+ab
）
（4）若f（
a+b
1+ab
）=1，f（
a-b
1-ab
）=2（-1＜a＜1，-1＜b＜1），求f（a），f（b）的值．
分析：（1）先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)稱再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，易判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）利用定義法（作差法），任取區(qū)間（0，1）上的兩個(gè)實(shí)數(shù)，a，b且a＜b，然后判斷f（a）與f（b）的大小，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)函數(shù)解析式，及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，分別計(jì)算出f（a）+f（b）與f(
a+b
1+ab
)的值，即可得到結(jié)論；
（4）根據(jù)f（
a+b
1+ab
）=1，f（
a-b
1-ab
）=2結(jié)合（3）的結(jié)論，我們易構(gòu)造一個(gè)關(guān)于f（a）與f（b）的方程組，解方程組即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵
1+x
1-x
＞0
∴-1＜x＜1，即函數(shù)的定義域（-1，1）
∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
f（-x）=lg
1-x
1+x
=lg
1+x
1-x
=-f（x）故f（x）為奇函數(shù)
（2）任取區(qū)間（0，1）上的兩個(gè)實(shí)數(shù)，a，b且a＜b
則f（a）-f（b）=lg
1+a
1-a
-lg
1+b
1-b
=lg(
1+a
1-a
÷
1+b
1-b
)=lg(
1+a
1-a
•
1-b
1+b
)＞0
即f（a）＞f（b）
∴f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．
（3）∵f（a）+f（b）=lg
1+a
1-a
+lg
1+b
1-b
=lg
1+a+b+ab
1-a-b-ab

又∵f(
a+b
1+ab
)=lg
1+
a+b
1+ab
1-
a+b
1+ab
=lg
1+a+b+ab
1-a-b+ab
，
∴f（a）+f（b）=f(
a+b
1+ab
)
（4）∵f（a）+f（b）=f(
a+b
1+ab
)
∴f（a）+f（b）=1
f（a）+f（-b）=f(
a-b
1-ab
)，
∴f（a）+f（-b）=2
∵f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）=2，
解得：f（a）=
3
2
，f（b）=-
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性判斷，函數(shù)的單調(diào)性證明，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，抽象函數(shù)求值，熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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