Question

函數(shù)f(x)＝x²－2x＋3在區(qū)間[0，a]上的最大值為3，最小值為2，求a的范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：由于函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝1． 　　(1)當0＜a≤1時，因為x∈[0，a]，所以函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3在區(qū)間[0，a]上的圖象如圖所示，所以函數(shù)f(x)在[0，a]上單調(diào)遞減，∴即解得a＝1符合題意． 　　(2)當1＜a≤2時，函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3在區(qū)間[0，a]上的圖象如圖所示，∴所以1＜a≤2滿足條件． 　　(3)當a＞2時，函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3在區(qū)間[0，a]上的圖象如圖所示，∴ymax＝f(a)＞3，所以a＞2不符合題意． 　　綜上所述，a的取值范圍為1≤a≤2． 　　點評：本題在作出示意圖后，可以發(fā)現(xiàn)在[0，a]上的拋物線弧實際上是從點(0，3)開始向右，直到x＝a時結束的一段曲線，由于函數(shù)的最小值為2，最大值為3，所以曲線段的右端點的橫坐標必須介于1和2之間(包括端點)，所以可以直接得到a的取值范圍為1≤a≤2．通過這個簡單方法，可以使學生更加體會到數(shù)形結合思想在解決數(shù)學問題中的重要作用，有條件的學�？梢酝ㄟ^多媒體教學來使得學生有更加直觀的認識．

提示：

這是拋物線弧中涉及定對稱軸和動區(qū)間的問題，最值在何時取要根據(jù)圖象來看，所以我們要先作出符合條件的示意圖，[0，a]上的一段用實線作出，不能取到的部分用虛線表示，再根據(jù)圖象，確定何時取最大值，何時取最小值，再由條件最大值為3，最小值為2，列出方程組，求出a．