已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F1（-c，0）（c＞0）到圓C：（x-2）2+（y-4）2=1上任意一點距離的最大值為6，且過橢圓右焦點F2（c，0）與上頂點的直線與圓O：x2+y2=
1
2
相切．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若直線l：y=-x+m與橢圓E交于A，B兩點，當以AB為直徑的圓與y軸相切時，求m的值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由題意，
(-c-2)2+42
+1=6，可得c=1，過橢圓右焦點F2（c，0）與上頂點的直線與圓O：x2+y2=
1
2
相切，可求b，從而可得橢圓E的方程；
（2）l：y=-x+m與橢圓E聯(lián)立，因為以AB為直徑的圓與y軸相切，所以圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標等于半徑，由弦長公式可求得|AB|，從而可得半徑，利用韋達定理及中點坐標公式可求得m的值．
解答： 解：（1）由題意，
(-c-2)2+42
+1=6，
∵c＞0，∴c=1，
過橢圓右焦點F2（c，0）與上頂點的直線方程為
x
1
+
y
b
=1，即bx+y-b=0，
∵過橢圓右焦點F2（c，0）與上頂點的直線與圓O：x2+y2=
1
2
相切，
∴
|-b|
1+b2
=
2
2
，
∴b=1，
∴a=
2
，
∴橢圓E的方程為
x2
2
+y2=1；
（2）直線l：y=-x+m與橢圓E聯(lián)立可得3x2-4mx+2m2-2=0，△＞0，得m2＜3．
設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
4m
3
，x1x2=
2m2-2
3
，
∴AB的中點橫坐標為
2m
3
，
∵以AB為直徑的圓的半徑為r=
2
2
|x1-x2|=|
x1+x2
2
|，
∴（x1+x2）2=8x1x2，即（
4m
3
）2=8•
2m2-2
3
，
∴m2=
3
2
＜3，
∴m=±
6
2
．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓標準方程的求解，弦長公式、韋達定理是解決該類問題的基礎(chǔ)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

圓的極坐標方程分別是ρ=2cosθ和ρ=4sinθ，兩個圓的圓心距離是（　�。�
A、2
B、
2
C、
5
D、5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且a1=b1=1，a2+b2=5，a3+b3=9．
（1）求{an}、{bn}的通項公式；
（2）求數(shù)列{
an
bn
}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程x2-ax+a=0（a∈R）的兩個根．
（1）求cos3（
π
2
-θ）+sin3（
π
2
-θ）的值；
（2）求tan（π-θ）-
1
tanθ
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知矩陣M=
2
0
0
2
，記繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)
π
4
的變換所對應的矩陣為N．
（Ⅰ）求矩陣N；    
（Ⅱ）若曲線C：xy=1在矩陣MN對應變換作用下得到曲線C′，求曲線C′的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）已知函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2．
（1）求f（
1
2
）和f（
1
n
）+f（
n-1
n
）（n∈N*）的值；
（2）數(shù)列f（x）滿足an=f（0）+f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）+f（1），（n∈N*）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（3）bn=
1
an-1
，Sn=
4n
2n+1
，Tn=b12+b22+b32+…+bn2，試比較Tn與Sn的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圓O：x2+y2=b2．
（1）若橢圓上存在一點P，過點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使∠APB=90°，求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當橢圓的離心率e取第（1）問中的最小值，且橢圓的一條準線方程為x=2時，作一直線l與圓O相切，且交橢圓于M，N兩點，A1，A2是x軸上關(guān)于原點對稱的兩點，B1，B2是y軸上關(guān)于原點對稱的兩點，若
A1M
•
A2M
+
B1N
•
B2N
=0，求|A1B1|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=
π
2
，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求證：
（Ⅰ）EC⊥CD；
（Ⅱ）求證：AG∥平面BDE；
（Ⅲ）求：幾何體EG-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2x和圓N：（x+2）2+y2=8，直線l與圓N相切，且與拋物線C交于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）當直線l的斜率為1時，求線段AB的長；
（Ⅱ）設點M和點N關(guān)于直線y=x對稱，則是否存在直線l使得以AB為直徑的圓恰好過點M？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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