Question

已知函數(shù)f（x）=x²-mx-lnx，m∈R
（1）若m=2，求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（2）若m≥1，函數(shù)在f（x）在x=x處取得極值，求證：1≤x≤m．

Answer 1

【答案】分析：（1）將m=2，代入我們易根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=x²-mx-lnx，m∈R，求出函數(shù)的導函數(shù)的解析式，然后利用導函數(shù)值大于等于0，函數(shù)單調遞增，求出函數(shù)的單調遞增區(qū)間；
（2）若m≥1，函數(shù)在f（x）在x=x處取得極值，我們易求出，由m≥1，我們易根據(jù)不等式的性質得到1≤x≤m．
解答：解：（1）當m=2時，f（x）=x²-2x-lnx，
定義域為{x|x＞0}（2分）
則，（4分）
解得（5分）
所以函數(shù)h（x）的單調增區(qū)間為（6分）
（2）∵x＞0，，等價于：2x²-mx-1=0，
此方程有且只有一個正根為，
且當x∈（0，x）時，h'（x）＜0；當x∈（x，+∞）時，h'（x）＞0，
則函數(shù)f（x）=x²-mx-lnx在x=x處取得極值．
當m≥1時，關于m在[1，+∞）遞增，．
要證x≤m，即證，
也即，3m，
∵＞0，3m＞0，
只要m²+8≤9m²，8≤8m²，1≤m²，
只需m≥1，該式顯然成列，所以結論成立．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，其中根據(jù)已知函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)的解析式是解答本題的關鍵．