Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．
（1）證明PA∥平面EDB；
（2）求證：平面BDE⊥平面PBC；
（3）求PB與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲證PA∥平面EDB，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PA與平面EDB內(nèi)一直線平行，連接AC，交BD于O，連接EO，根據(jù)中位線定理可知EO∥PA，PA?平面EDB，EO?平面EDB，滿足定理所需條件；
（2）證明平面BDE⊥平面PBC，只需證明DE⊥平面PBC；
（3）根據(jù)線面所成角的定義可知∠PBD是PB與底面ABCD所成的角，從而可求PB與底面ABCD所成角的正切值；．

解答：（1）證明：連接AC，交BD于O，連接EO，則O是AC的中點．
∵E是PC的中點，∴EO∥PA，
∵PA?平面EDB，EO?平面EDB，
∴PA∥平面EDB；
（2）證明：∵PD=DC，E是PC的中點，
∴DE⊥PC，
∵PD⊥底面ABCD，
∴BC?底面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形，
∴BC⊥DC，
∵PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC，
∴BC⊥DE，
∵PC∩BC=C，
∴DE⊥平面PBC，
∵DE?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面PBC；
（3）解：∵PD⊥底面ABCD，
∴∠PBD是PB與平面ABCD所成角，
∵底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，
∴tan∠PBD=

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點評：本題考查直線與平面平行的判定，以及直線與平面所成角和二面角及其度量，考查面面垂直，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，正確運用線面平行、面面垂直的判定定理是關(guān)鍵．