Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左焦點為F₁（-1，0），且橢圓C的離心率．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的上下頂點分別為A₁，A₂，Q是橢圓C上異于A₁，A₂的任一點，直線QA₁，QA₂分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題目給出的條件直接列關于a，b，c的方程組求解a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）由橢圓方程求出橢圓上下頂點的坐標，設出橢圓上的動點Q，由直線方程的兩點式寫出直線QA₁，QA₂的方程，取y=0后得到OS和OT的長度，結合點Q在橢圓上整體化簡運算可證出|OS|•|OT|為定值；
（3）假設存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大，由點M在橢圓上得到關于m和n的關系式，由點到直線的距離公式求出原點O到直線的距離，由圓中的半徑，半弦長和弦心距之間的關系求出弦長，寫出△OAB的面積后利用基本不等式求面積的最大值，利用不等式中等號成立的條件得到關于m和n的另一關系式，聯(lián)立后可求解M的坐標．
解答：解：（1）由題意：，解得：
所以橢圓C：；
（2）由（1）可知，設Q（x，y），
直線QA₁：，令y=0，得；     
直線QA₂：，令y=0，得；
則，
而，所以，
所以；
（3）假設存在點M（m，n）滿足題意，則，即．
設圓心到直線l的距離為d，則，且．
所以．
所以．
因為，所以，所以．
所以．
當且僅當，即時，S_△OAB取得最大值．
由，解得．
所以或或或．
所以存在點M滿足題意，點M的坐標為
或．
此時△OAB的面積為．
點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線和圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．屬難題．