Question

（2012•徐匯區(qū)一模）某種型號汽車的四個輪胎半徑相同，均為R=40cm，該車的底盤與輪胎中心在同一水平面上．該車的涉水安全要求是：水面不能超過它的底盤高度．如圖所示：某處有一“坑形”地面，其中坑ABC形成頂角為120°的等腰三角形，且AB=BC=60cm，如果地面上有h（cm）（h＜40）高的積水（此時坑內(nèi)全是水，其它因素忽略不計）．
（1）當輪胎與AB、BC同時接觸時，求證：此輪胎露在水面外的高度（從輪胎最上部到水面的距離）為d=10+

80 3

3

-h；
（2）假定該汽車能順利通過這個坑（指汽車在過此坑時，符合涉水安全要求），求h的最大值．（精確到1cm）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)輪胎與AB邊的切點為T，輪胎中心為O，則|OT|=40，由∠ABC=120°，知∠OBT=60°，可得OB|=

2×40

3

，由此求得從B點到輪胎最上部的距離．
（2）由題意可得只要d≥40，即

80

3

+10-h≥4040，由此求得h的最大值．

解答：解：（1）當輪胎與AB、BC同時接觸時，設(shè)輪胎與AB邊的切點為T，輪胎中心為O，則|OT|=40，
由∠ABC=120°，知∠OBT=60°，…..（2分）
故|OB|=

2×40

3

..…..（4分）
所以，從B點到輪胎最上部的距離為

2×40

3

+40，…..（6分）
此輪胎露在水面外的高度為d=

2×40

3

+40-（60cos60°+h）=

80

3

+10-h，得證．…..（8分）
（2）只要d≥40，…..（12分）
即

80

3

+10-h≥4040，解得h≤16cm，
所以h的最大值為16cm．…..（14分）

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，函數(shù)的最值及其幾何意義，屬于中檔題．