【題目】已知點(diǎn)F1為橢圓的左焦點(diǎn),在橢圓上,PF1x軸.

1)求橢圓的方程:

2)已知直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為的大小是否為定值?若是,求出該定值:若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1y21;(2)∠AOB為定值

【解析】

1)由PF1x軸,及點(diǎn)P的坐標(biāo)可得F1的坐標(biāo),即c的值,將P的坐標(biāo)代入,由a,bc之間的關(guān)系的關(guān)系求出a,b的值,進(jìn)而求出橢圓的方程;

2)分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論:當(dāng)斜率不存在時(shí)由原點(diǎn)到直線的距離可得直線l的方程,代入橢圓中求出A,B的坐標(biāo),進(jìn)而可得數(shù)量積的值為0,可得AOB;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積,由原點(diǎn)到直線的距離可得參數(shù)之間的關(guān)系,將其代入數(shù)量積的表達(dá)式,可得恒為0,即AOB恒為定值

1)因?yàn)?/span>PF1x軸,又在橢圓上,可得F1(10),

所以c=1,1,a2=c2+b2,

解得a2=2,b2=1,

所以橢圓的方程為:y2=1;

2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),由原點(diǎn)O到直線l的距離為,

可得直線l的方程為:x,

代入橢圓可得A(,),B(,)A(,),B(,),

可得,所以∠AOB;

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為:y=kx+m,設(shè)A(x1y1)B(x2y2),

由原點(diǎn)O到直線l的距離為,可得,可得3m22(1+k2),

直線與橢圓聯(lián)立,整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m22=0,

=16k2m24(1+2k2)(2m22)>0,將代入中可得=16m2+8>0

x1+x2,x1x2,

y1y2k2x1x2+km(x1+x2)+m2,

所以

將①代入可得0,

所以∠AOB

綜上所述∠AOB恒成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.B.C.D.

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①雙紐線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ②雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱;

; ④雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè).

A.①②B.①②③C.②③D.②③④

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1)求;

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③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是

A. B. C. ①②D. ①②③

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