Question

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，其前n項(xiàng)和為．規(guī)定：若數(shù)列滿足前r項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列，從第項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱數(shù)列為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”．

（1）若數(shù)列為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）在（1）的條件下，求出，并證明：對(duì)任意，；

（3）若數(shù)列為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，當(dāng)時(shí),在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求，并探究在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，，其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2），證明見解析

（3），不存在，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意得到，，且.解得即可求出的通項(xiàng)公式.

（2）由（1）得，利用換元法證明數(shù)列的最小項(xiàng)為，即可證明對(duì)任意，.

（3）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，由此可得出.假設(shè)在數(shù)列中存在三項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，推導(dǎo)出故，這與題設(shè)矛盾，所以在數(shù)列中不存在三項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.

（1）∵為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，

∴前6項(xiàng)為等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起為等比數(shù)列.

∴，，且.

即，解得.

∴.

（2）由（1）得.

：，

：，

：，

可見數(shù)列的最小項(xiàng)為.

，

由列舉法知：當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，（），

設(shè)，則，．

（3）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)椋?/span>，.

故：.

假設(shè)在數(shù)列中存在三項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，

則：，即：，

即（*）

因?yàn)?/span>，，成等差數(shù)列，所以，

（*）式可以化簡(jiǎn)為，

即：，故，這與題設(shè)矛盾.

所以在數(shù)列中不存在三項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.