Question

給出封閉函數(shù)的定義：若對于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₀，都有函數(shù)值f（x₀）∈D，則稱函數(shù)y=f（x）在D上封閉．若定義域D=（0，1），則函數(shù)①f（x）=3x-1；②f(x)=-

1

2

x2-

1

2

x+1；③f(x)=log2(x2+1)；④f(x)=x

1

2

，其中在D上封閉的是

②③④

．（填序號即可）

Answer 1

分析：根據(jù)封閉函數(shù)的定義，函數(shù)f（x）在定義域D上的值域?yàn)镈的子集，則函數(shù)f（x）就是封閉函數(shù)．因此分別求出各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)在區(qū)間D=（0，1）上的值域，再看這個(gè)值域是否為D的子集，即可判斷其是否為封閉函數(shù)．由此可得本題答案．

解答：解：對于①，當(dāng)定義域D=（0，1）時(shí)，顯然f（x）=3x-1∈（-1，2）∉D，
例如當(dāng)x=

1

3

時(shí)，f（x）=0∉D，故①的函數(shù)不是封閉函數(shù)；
對于②，f(x)=-

1

2

x2-

1

2

x+1=-

1

2

(x+

1

2

)2+

7

8

∵二次函數(shù)圖象開口向下，定義域D=（0，1）在對稱軸x=-

1

2

的右側(cè)，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，可得f（x）∈（0，1）=D，即②是封閉函數(shù)；
對于③，當(dāng)定義域D=（0，1）時(shí)，
∵x²+1∈（1，2），∴f(x)=log2(x2+1)∈（0，1）=D，即③是封閉函數(shù)；
對于④，當(dāng)定義域D=（0，1）時(shí)，顯然有f（x）=x

1

2

∈（0，1）=D，即④是封閉函數(shù)
綜上所述，②③④是封閉函數(shù)．
故答案為：②③④

點(diǎn)評：本題給出封閉函數(shù)的定義，要我們判斷幾個(gè)函數(shù)是不是（0，1）上的封閉函數(shù)．著重考查了函數(shù)的定義域與值域、函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，屬于中檔題．