Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

m

x

(m∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域，并討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上取得最小值3？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）求出導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）=0，得 x=-m，通過(guò)討論根與定義域的關(guān)系，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)一步判斷出函數(shù)的單調(diào)性．
（II）通過(guò)討論根x=-m與區(qū)間[1，e]的關(guān)系，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出f（x）在區(qū)間[1，e]上取得最小值，令其等于3，求出m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且 f′(x)=

1

x

+

m

x2

=

x+m

x2

．
令f′（x）=0，得 x=-m．--------------（2分）
當(dāng)m≥0時(shí)，x+m＞0，f′(x)=

x+m

x2

＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)m＜0時(shí)，在區(qū)間（0，-m）上f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，-m）上是減函數(shù)；
在區(qū)間（-m，+∞）上f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-m，+∞）上是增函數(shù)．---（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=

x+m

x2

，
（1）若m≥-1，則在區(qū)間[1，e]上f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
此時(shí)，f（x）取最小值f（1），
由f（1）=-m=3，得m=-3∉[-1，+∞）；--------（8分）
（2）若m≤-e，則在區(qū)間[1，e]上f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
此時(shí)，f（x）取最小值f（e），
由f(e)=1-

m

e

=3，得m=-2e∈（-∞，-e]；-------（10分）
（3）若-e＜m＜-1，
則在區(qū)間[1，-m）上f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在[1，-m）上是減函數(shù)，
在區(qū)間（-m，+∞）上f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（-m，+∞）上是增函數(shù)，
此時(shí)，f（x）取最小值f（-m），
由f（-m）=ln（-m）+1=3，得m=e²∉（-e，-1）；------（12分）
綜上所述，存在實(shí)數(shù)m=-2e，使得f（x）在區(qū)間[1，e]上取得最小值3．----------（13分）

點(diǎn)評(píng)：解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值常利用的工具是導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)中含有參數(shù)，一般需要討論，討論的起點(diǎn)往往從根與區(qū)間的關(guān)系上引起討論．