設(shè)Sn是正項數(shù)列{an的前n項和,且Sn=
1
4
an2+
1
2
an-
3
4

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)是否存在等比數(shù)列{bn},使 a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-1)•2n+1+2 對一切正整數(shù)n都成立?并證明你的結(jié)論.
(3)設(shè)
Cn
=
1
1+an
(n∈N*)
,且數(shù)列{Cn}的前n項和為Tn,試比較與
1
6
的大。
分析:(1)本題已知數(shù)列前n項和的表達式,求通項通常用an=Sn-Sn-1,求通項,再驗證n=1時,是否適合所求的通式,若符合就寫成統(tǒng)一式,否則,寫成分段的形式;
(2)假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列{bn},使 a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-1)•2n+1+2 對一切正整數(shù)n都成立,故可先研究前兩項,找出規(guī)律,提出猜想,再進行證明得出結(jié)論;
(3)由(1),將an=2n+1代入,求出Cn的表達式,再所其形式求出列{Cn}的前n項和為Tn,由和的形式與
1
6
的比較即可得到它們的大小關(guān)系.
解答:解:(1)由Sn=
1
4
an2
+
1
2
an-
3
4
  得Sn+1=
1
4
an+12+
1
2
an+1-
3
4

  相減并整理得 (an+1+an)(an+1-an-2)=0
  又由于an+1+an>0,則an+1=an+2,故{an}是等差數(shù)列.
a1=S1=
1
4
a12
+
1
2
a12-
3
4
>0
,所以a1=3
    故an=2n+1                                …4分
(2)當n=1,2時,a1b1=22(2×1-1)+2=6,
a1b1+a2b2=23(2×2-1)+2=26,可解得b1=2,b2=4,猜想bn=2n,使a1b1+a2b2+…
+anbn=2n+1(2n-1)+2成立.
證明:3•2+5•22+7•23+…+(2n+1)2n=2n+1(2n-1)+2恒成立.
令S=3•2+5•22+7•23+…+(2n+1)2n   ①
2S=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)2n+1 ②
②-①得:S=(2n+1)2n+1-2•2n+1+2=(2n-1)2n+1+2,
故存在等比數(shù)列{bn}符合題意…8分
(3)Cn=
1
(2n+2)2
1
(2n+1)(2n+3)
=
1
2
1
2n+1
-
1
2n+3

則Tn=c1+c2+…+cn
1
2
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
2n+1
-
1
2n+3
)=
1
2
1
3
-
1
2n+3
)<
1
6

Tn
1
6
…12分
點評:本題考查數(shù)列與不等式的綜合,考查了數(shù)列遞推式的應(yīng)用,錯位相減法求和的技巧放縮法證明不等式,解題的關(guān)鍵是熟練掌握錯位相減法的技巧,放縮法的技巧,本題中第二問先研究前兩項得出規(guī)律,提出猜想,再進行證明是研究規(guī)律不明顯的問題時常用的思路,第三問中用到了放大的技巧,要注意不要放得過大,放縮法證明不等式技巧性很強,需要有有較高的觀察能力與判斷能力,既要放,又不能放得過了頭,謹記
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(1)若a2,b2,c2成等差數(shù)列,證明b+c,c+a,a+b成調(diào)和數(shù)列;
(2)設(shè)Sn是調(diào)和數(shù)列{
1n
}
的前n項和,證明對于任意給定的實數(shù)N,總可以找到一個正整數(shù)m,使得當n>m時,Sn>N.

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2
的等比數(shù)列
(1)求{an}的通項公式;
(2)若a=
2
,Sn為{an}的前n項和,記Tn=
17Sn-S2n
an+1
設(shè)Tn0為數(shù)列{Tn}的最大項,求n0

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設(shè)Sn是正項等比數(shù)列{an}的前n項和,S2=4,S4=20則數(shù)列的首項a1=


  1. A.
    數(shù)學公式
  2. B.
    數(shù)學公式
  3. C.
    2
  4. D.
    5

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科目:高中數(shù)學 來源:2011年廣東省廣州市執(zhí)信中學高考數(shù)學三模試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

設(shè)Sn是正項等比數(shù)列{an}的前n項和,S2=4,S4=20則數(shù)列的首項a1=( )
A.
B.
C.2
D.5

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