Question

如圖，正△ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AD和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（1）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由； 
（2）求異面直線AB與DE所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）以D點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的共線向量定理，證明線線平行，再由線線平行證線面平行；
（II）用坐標(biāo)表示向量

EF

和

ED

，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求角的余弦值即可．

解答：解：（I）如圖2，建立空間直角坐標(biāo)系，則
D(0，0，0)，A(0，0，a)，B(a，0，0)，C(0，

3

a，0)，E(0，

3

2

a，

a

2

)，F(xiàn)(

a

2

，

3

2

a，0)
∴

AB

=(a，0，-a)，∴

EF

=(

a

2

，0，-

a

2

)，
∵

EF

=

1

2

AB

，
∴

EF

∥

AB

，∴AB∥EF，且EF?平面DEF，AB?平面DEF，
∴AB∥平面DEF
（II）∵AB∥EF，∴∠DEF即為異面直線AB與DE所成的角，
∴

ED

=(0，

3

2

a，-

a

2

)，

EF

=(

a

2

，0，-

a

2

)，
∴cos（

EF

，

ED

）=

EF • ED

| EF || ED |

=

a2 4

a• 2 2 a

=

2

4

．
∴異面直線AB與DE所成的角的大小為arccos

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量坐標(biāo)運(yùn)算為工具證明線線平行，求異面直線所成的角．關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，正確的給出向量的坐標(biāo)表示．