已知拋物線x2=2py(p>0),過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),拋物線在A,B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)Q.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo);
(Ⅲ)證明:
【答案】分析:(I)設(shè)直線l的方程為.將它與拋物線的方程聯(lián)立組成方程組,消去y得到關(guān)于x的二次方程,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求出
的值;
(II)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線的斜率,從而求得切線的方程,最后聯(lián)立直線的方程組成方程組求出交點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可;
(III)欲證明:.分別求出左式和右式,看它們是否相等即可.為了求得左右兩式,須結(jié)合(1)中的方程中根與系數(shù)的關(guān)系,以及(2)求得和Q的坐標(biāo)求解即可.
解答:(Ⅰ)解:∵,
∴設(shè)直線l的方程為
可得x2-2pkx-p2=0.(2分)
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),
則x1+x2=2pk,x1x2=-p2.(3分)

=(4分)
.(5分)
(Ⅱ)解:由x2=2py,可得,

∴拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為
∴在點(diǎn)A處的切線方程為,即.(7分)
同理在點(diǎn)處B的切線方程為
解方程組
可得
即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為.(9分)
(Ⅲ)證明:由(Ⅱ)可知,,
,(11分)


=
=(1+k2)p2
.(13分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題等知識(shí).屬于中檔題.
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(2011•合肥三模)已知拋物線C的方程為x2=2py(p>0),過(guò)拋物線上點(diǎn)M(-2
p
,p)作△MAB,A、B兩均在拋物線上.過(guò)M作x軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)N.
(I)若MN平分∠AMB,求證:直線AB的斜率為定值;
(II)若直線AB的斜率為
p
,且點(diǎn)N到直線MA,MB的距離的和為4p,試判斷△MAB的形狀,并證明你的結(jié)論.

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(2007•廣州模擬)已知拋物線x2=2py(p>0),過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(0,a),且斜率為1的直線L與該拋物線交于不同兩點(diǎn)A、B,|AB|≤2p,
(1)求a的取值范圍;
(2)若p=2,a=3,求直線L與拋物線所圍成的區(qū)域的面積.

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已知拋物線x2=2py(p>0),過(guò)點(diǎn)向拋物線引兩條切線,A、B為切點(diǎn),則線段AB的長(zhǎng)度是

[  ]
A.

2p

B.

p

C.

D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:廣東省廣州市2007年高三年級(jí)六校聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試卷 題型:044

已知拋物線x2=2py(p>0),過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(0,a),且斜率為1的直線L與該拋物線交于不同兩點(diǎn)A、B,|AB|≤2p,

(1)求a的取值范圍;

(2)若p=2,a=3,求直線L與拋物線所圍成的區(qū)域的面積;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年江西省名校高考信息卷一(理) 題型:選擇題

 已知拋物線x2 = 2py (p > 0),過(guò)點(diǎn)M (0 , - )向拋物線引兩條切線,A、B為切點(diǎn),則線段

AB的長(zhǎng)度是

A.2p

B.p

C.

D.

 

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