Question

已知拋物線x²=2py（p＞0），過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)Q．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)；
（Ⅲ）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)直線l的方程為．將它與拋物線的方程聯(lián)立組成方程組，消去y得到關(guān)于x的二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求出
的值；
（II）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線的斜率，從而求得切線的方程，最后聯(lián)立直線的方程組成方程組求出交點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可；
（III）欲證明：．分別求出左式和右式，看它們是否相等即可．為了求得左右兩式，須結(jié)合（1）中的方程中根與系數(shù)的關(guān)系，以及（2）求得和Q的坐標(biāo)求解即可．
解答：（Ⅰ）解：∵，
∴設(shè)直線l的方程為．
由可得x²-2pkx-p²=0．（2分）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²．（3分）

=（4分）
∴．（5分）
（Ⅱ）解：由x²=2py，可得，
∴．
∴拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為．
∴在點(diǎn)A處的切線方程為，即．（7分）
同理在點(diǎn)處B的切線方程為．
解方程組
可得
即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為．（9分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）可知，，
∴，（11分）
又，
∴
=
=（1+k²）p²．
∴．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題等知識(shí)．屬于中檔題．