Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=

1

3

，an+1=

1

3

an，b_n=log₃a_n+5．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求T_n=b₁+b₂+…+b_n的最大值及此時(shí)n的值；
（Ⅲ）若C_n=a_nb_n，是否存在整數(shù)k，使得Cn＞

k

35

對(duì)?n∈N^*恒成立？若存在，求出k的最大值；不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用（I）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得b_n，再令b_n≥0解得n，即可得出；
（III）計(jì)算C_n+1-C_n即可得出數(shù)列C_n的單調(diào)性，則“存在整數(shù)k，使得Cn＞

k

35

對(duì)?n∈N^*恒成立”?(Cn)min＞

k

35

，解出即可．

解答：解：（Ⅰ）由an+1=

1

3

an，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

3

公比為

1

3

的等比數(shù)列，
∴an=(

1

3

)n．
（II）由b_n=log₃a_n+5=log33-n+5=-n+5．
∴b_n=-n+5．
當(dāng)n＞5時(shí)，b_n＜0；當(dāng)n≤5時(shí)，b_n≥0，
∴當(dāng)n=4或n=5時(shí)，T_n取最大值，
此時(shí)T4=T5=

(4+0)×5

2

=10．
（III）Cn=(

1

3

)n×(5-n)，
由Cn+1-Cn=(

1

3

)n+1×(4-n)-(

1

3

)n×(5-n)
=(

1

3

)n+1×(4-n-15+3n)
=(

1

3

)n+1×(2n-11)，
得當(dāng)n≤5時(shí)，C_n+1＜C_n；當(dāng)n＞5時(shí)，C_n+1＞C_n，
即C₆，是數(shù)列{C_n}的最小項(xiàng)，C6=-(

1

3

)6．
又Cn＞

k

35

對(duì)?n∈N^*恒成立，即(Cn)min＞

k

35

，
∴-(

1

3

)6＞

k

35

，解得k＜-

1

3

．
∴存在整數(shù)k，使得Cn＞

k

35

對(duì)?n∈N^*恒成立，此時(shí)k的最大值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．