各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，滿足a1=1，a
 
2
n+1
-a
 
2
n
=2（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{
an2
2n
}的前n項(xiàng)和Sn．
分析：（1）先確定數(shù)列{a
 
2
n
}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法，即可求數(shù)列{
an2
2n
}的前n項(xiàng)和Sn．
解答：解：（1）因?yàn)閍
 
2
n+1
-a
 
2
n
=2，
所以數(shù)列{a
 
2
n
}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
所以a
 
2
n
=1+2（n-1）=2n-1．
因?yàn)閍n＞0，所以an=
2n-1
．
（2）由（1）知，an=
2n-1
，所以
an2
2n
=
2n-1
2n
．
所以，Sn=
1
2
+
3
22
+…+
2n-1
2n
    ①
則
1
2
Sn=
1
22
+
3
23
+…+
2n-3
2n
+
2n-1
2n+1
，②
①-②得，
1
2
Sn=
1
2
+
2
22
+…+
2
2n
-
2n-1
2n+1
=
1
2
+2（
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
）-
2n-1
2n+1
=
3
2
-
2n+3
2n+1
．
所以Sn=3-
2n+3
2n
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用錯(cuò)位相減法是關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)單調(diào)遞增函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y有f（xy）=f（x）+f（y），且f(
1
2
)=-1．
（1）一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足：f（sn）=f（an）+f（an+1）-1其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，是否存在正數(shù)M使下列不等式：2n•a1a2…an≥M
2n+1
(2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)對(duì)一切n∈N*成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，a1=1，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意n∈N﹡，有2Sn=2p
a
2
n
+pan-p（p∈R）．
（1）求常數(shù)p的值；
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an，
1
2
成等差數(shù)列，
（1）求a1，a2的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）若bn=4-2n（n∈N*），設(shè)cn=
bn
an
，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且點(diǎn)（an，Sn）在函數(shù)y=
1
2
x2+
1
2
x-3的圖象上，
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記bn=nan(n∈N*)，求證：
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•長(zhǎng)寧區(qū)二模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn滿足s1＞1，且6sn=（an+1）（an+2）（n為正整數(shù)）．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
an，n為偶數(shù)
2an，n為奇數(shù)
，求Tn=b1+b2+…+bn；
（3）設(shè)Cn=
bn+1
bn
，(n為正整數(shù))，問是否存在正整數(shù)N，使得n＞N時(shí)恒有Cn＞2008成立？若存在，請(qǐng)求出所有N的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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