Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n+1，n∈N*．
（1）證明數(shù)列{an+

1

3

}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=4a_n+1，可得，an+1+

1

3

=4(an+

1

3

)，從而可證
（2）由（1）可得，an+

1

3

=

7

3

•4n-1an=

7

3

•4n-1-

1

3

，利用分組求和，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式可求S_n

解答：證明：（1）∵a_n+1=4a_n+1，n∈N*，
令a_n+1+m=4（a_n+m），可得3m=1
∴m=

1

3

∴an+1+

1

3

=4(an+

1

3

)
∵a₁=2
∴a1+

1

3

=

7

3

∴{a_n+

1

3

}是以

7

3

為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列
（2）由（1）可得，an+

1

3

=

7

3

•4n-1an=

7

3

•4n-1-

1

3

∴Sn=

7

3

•41-1-

1

3

+

7

3

•42-1-

1

3

+…+

7

3

•4n-1-

1

3

=

7

3

•

1•(1-4n)

1-4

-

n

3

=

7

9

•4n-

n

3

-

7

9

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，及數(shù)列求和的分組求和，等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用．