Question

20．如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB．
（1）求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；
（2）線段EA上是否存在點(diǎn)F，使CE∥平面FBD？若存在，求出$\frac{EF}{EA}$；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，從而可得EO⊥OD．建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面ABE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{OD}$=（0，1，0），$\overrightarrow{EC}$=（1，1，-1），利用向量的夾角公式，可求直線EC與平面ABE所成的角；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求解．

解答 解：（1）因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB，
所以EO⊥平面ABCD，
因?yàn)镺D?平面ABCD，所以EO⊥OD．
由OB，OD，OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz． …（5分）
因?yàn)椤鱁AB為等腰直角三角形，
所以O(shè)A=OB=OD=OE，設(shè)OB=1，
所以O(shè)（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．
所以 $\overrightarrow{EC}$=（1，1，-1），平面ABE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{OD}$=（0，1，0）． …（7分）
設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為θ，
所以 sinθ=|cos?$\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{OD}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{OD}|}{|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{OD}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（9分）
（2）存在點(diǎn)F，且 $\frac{EF}{EA}=\frac{1}{3}$時(shí)，有EC∥平面FBD． …（10分）
證明：法一：由$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{EA}=（-\frac{1}{3}，0，-\frac{1}{3}）$，F(xiàn)（-$\frac{1}{3}$，0，$\frac{2}{3}$），
所以$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{4}{3}$，0，-$\frac{2}{3}$）．
設(shè)平面FBD的法向量為 $\overrightarrow{v}$=（a，b，c），則有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{v}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{v}•\overrightarrow{FB}=0}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=0}\\{\frac{4}{3}a-\frac{2}{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{v}$=（1，1，2）． …（12分）
因?yàn)?$\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{v}$=（1，1，-1）•（1，1，2）=0，且EC?平面FBD，
所以EC∥平面FBD．
即點(diǎn)F滿足 $\frac{EF}{EA}=\frac{1}{3}$時(shí)，有EC∥平面FBD．…（14分）
法二：假設(shè)存在點(diǎn)F，且EF=λEA，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則F（0，y，z），$\overrightarrow{EF}$（0，y，z-1），$\overrightarrow{EA}$=（0，1，-1）
∴y=λ，z=1-λ，可得：F（0，λ，1-λ），B（0，-1，0），D（1，0，0），
∴$\overrightarrow{BF}$=（0，λ+1，1-λ），$\overrightarrow{BD}$=（1，1，0），
設(shè)平面BDF法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
可得：$\left\{\begin{array}{l}{（λ+1）{y}_{1}+（1-λ）{z}_{1}=0}\\{{x}_{1}+{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，
可得：$\overrightarrow{m}$=（$\frac{1-λ}{1+λ}$，$\frac{λ-1}{1+λ}$，1），$\overrightarrow{EC}$=（-1，1，1），
∴$\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{m}$=0，
即-$\frac{1-λ}{1+λ}$+$\frac{λ-1}{1+λ}$+1=0，可得：λ=$\frac{1}{3}$，
所以點(diǎn)F滿足 $\frac{EF}{EA}=\frac{1}{3}$時(shí)，有EC∥平面FBD． …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直，考查線面平行，考查線面角，考查利用向量解決線面角問題，確定平面的法向量是關(guān)鍵．