Question

已知函數(shù)f(x)=2sin(x+

π

6

)-2sin(

π

2

+x)，x∈[

π

2

， π]．
（1）若sinx=

4

5

，求函數(shù)f（x）的值；（2）求函數(shù)f（x）的值域；（3）求滿足f(x)=

3

的自變量x的值．

Answer 1

分析：（1）由sinx的值及x的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出cosx的值，把函數(shù)解析式的第一項利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式化簡，第二項利用誘導公式化簡，去括號合并后將sinx及cosx的值代入即可求出值；
（2）由兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值將函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍，求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質得到正弦函數(shù)的值域，進而得到函數(shù)f（x）的值域；
（3）令f（x）=

3

，利用特殊角的三角函數(shù)值求出x的值，再由x的范圍，即可得到滿足題意的自變量x的值．

解答：解：（1）∵sinx=

4

5

，x∈[

π

2

， π]，
∴cosx=-

3

5

，（2分）
則f(x)=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)-2cosx（6分）
=

3

sinx-cosx=

4

5

3

+

3

5

；（8分）
（2）f(x)=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)-2cosx
=

3

sinx-cosx
=2sin(x-

π

6

)，（10分）
∵

π

2

≤x≤π，
∴

π

3

≤x-

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(x-

π

6

)≤1，
∴函數(shù)f（x）的值域為[1，2]；（12分）
（3）由f(x)=

3

得：
sin(x-

π

6

)=

3

2

，x=kπ+(-1)k

π

3

+

π

6

，k∈Z，（14分）
∵x∈[

π

2

， π]，
∴x=

π

2

或x=

5π

6

．（15分）

點評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關系，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域及值域，靈活利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式進行變形是本題的突破點．