Question

（2007•深圳一模）將圓x²+y²=8上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

2

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倍，得到曲線C．設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且M，其中M是曲線C與y軸正半軸的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）證明：直線l的縱截距為定值．

Answer 1

分析：（I）先設(shè)曲線C上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y），然后根據(jù)題意（x，

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y）在圓x²+y²=8上，整理即可解出曲線C的方程．
（II）設(shè)出直線l的方程，與C的方程聯(lián)立方程組，整理為一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得直線l的縱截距為定值，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)所求曲線C上的任一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），圓x²+y²=8上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x'，y'），由題意可得

x′=x y′= 2 y

，…（3分）
∵x'²+y'²=8，x²+2y²=8，即∴曲線C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．              …（5分）
（Ⅱ）∵M(jìn)（0，2），顯然直線l與x軸不垂直，設(shè)直線l：y=kx+m，與橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，…（7分）
∴x1+x2=

-4km

2k2+1

，  x1x2=

2m2-8

2k2+1

，…（8分）
∴（x₁，y₁-2）•（x₂，y₂-2）=0，…（10分）
即：x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=0⇒x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=0，∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）-2（kx₁+m+kx₂+m）+4=0，
整理得：（k²+1）x₁x₂+k（m-2）（x₁+x₂）+（m-2）²=0，…（12分）
即(k2+1)

2m2-8

2k2+1

+k(m-2)

-4km

2k2+1

+(m-2)2=0，
∵m≠2，2（k²+1）（m+2）-4k²m+（2k²+1）（m-2）=0，
展開(kāi)得：3m+2=0，∴m=-

2

3

，∴直線l的縱截距為定值-

2

3

．                    …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，以及橢圓的方程問(wèn)題．考查對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，需要用到一元二次方程的根的判別式．本題屬于中檔題．