Question

已知{a_n}是首項為a₁，公比為q（q≠1）的等比數列，其前n項和為S_n，且有，設b_n=2q+S_n
（1）求q的值；
（2）數列{b_n}能否為等比數列？若能，請求出a₁的值；若不能，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，求數列{nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解（1）∵q≠1
∴==1+q⁵=
∴
（2）由（1）知b_n=2q+S_n=1+=（2a₁+1）-
①若數列{b_n}能否為等比數列，則，即
∴或a₁=0（舍去）
∴
②∵b_n≠0，且n≥2時，
∴時，數列{b_n}為等比數列
（3）由（2）
∴
=
兩式相減可得，=
==
∴T_n=2-
分析：（1）利用已知條件，利用等比數列的求和公式，列出關于等比數列的首項與公比的方程組，求公比
（2）由（1）知b_n=2q+S_n=1+=（2a₁+1）-，先假設數列{b_n}能否為等比數列，則，可求，，代入檢驗即可判斷
（3）由于b_n是有一等差數列與等比數列的積構成的數列，利用錯位相減的方法求出前n項和．
點評：求數列的前n項和，一般先求出通項，根據通項的特點選擇合適的求和方法．