Question

函數(shù)y=3sinx-4cosx，x∈[0，π]的值域為（　�。�

A．[-5，5]

B．[-4，5]

C．[-3，5]

D．[-4，3]

Answer 1

分析：由于y=3sinx-4cosx=5sin（x+φ）（tanφ=-

4

3

），-

π

3

＜φ＜-

π

4

，可求得x+φ的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案．

解答：解：∵y=f（x）=3sinx-4cosx
=5（

3

5

sinx-

4

5

cosx）
=5sin（x+φ）（tanφ=-

4

3

），
∵tanφ=-

4

3

，令|φ|＜

π

2

，
則-

π

3

＜φ=arc（-

4

3

）=-arc

4

3

＜-

π

4

，
又0≤x≤π，
∴-

π

3

＜x+φ＜

3π

4

，
∴當x+φ=x-arc

4

3

=

π

2

時，y=f（x）=3sinx-4cosx取得最大值5；
又y=f（x）=3sinx-4cosx在[0，

π

2

-arctan

4

3

]上單調(diào)遞增，在[

π

2

-arctan

4

3

，π]上單調(diào)遞減，
∴y_min=f（0）=-4；
∴函數(shù)y=3sinx-4cosx，x∈[0，π]的值域為[-4，5]．
故選：B．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，著重考查輔助角公式的應(yīng)用及正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．