例2．（1）對任意實數(shù)x，|x+1|+|x-2|＞a恒成立，則a的取值范圍是   
（2）對任意實數(shù)x，|x-1|-|x+3|＜a恒成立，則a的取值范圍是   
【答案】分析：（1）利用絕對值的性質進行放縮，從而求解．
（2）同理可得|x-1|-|x+3|≤|x-1-（x+3）|，求出其最大值，即可求解．
解答：解：（1）可由絕對值的幾何意義或y=|x+1|+|x-2|的圖象或者絕對值不等式的性質|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3得|x+1|+|x-2|≥3，
∴a＜3；
（2）與（1）同理可得|x-1|-|x+3|≤|x-1-（x+3）|=4，
∴a＞4．
點評：此題考查絕對值不等式的放縮問題及函數(shù)的恒成立問題，這類題目是高考的熱點，難度不是很大，要注意不等號進行放縮的方向．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2012年上海市普陀區(qū)高三年級第二次質量調研二模理科試卷（解析版） 題型：解答題

設點是拋物線的焦點，是拋物線上的個不同的點（）.

（1） 當時，試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標，從而使得

；

（2）當時，若，

求證：；

（3） 當時，某同學對（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：

① 試構造一個說明該逆命題確實是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對任意給定的大于3的正整數(shù)，試構造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真，請寫出你認為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向，則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為，設，

分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時，拋物線的焦點為，

設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線的焦點為，設，

分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

 

因為，所以，

故可取滿足條件.

（2）設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

；

所以.

（3） ①取時，拋物線的焦點為，

設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個當時，該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設，分別過作

拋物線的準線的垂線，垂足分別為，

由及拋物線的定義得

，即.

因為上述表達式與點的縱坐標無關，所以只要將這點都取在軸的上方，則它們的縱坐標都大于零，則

，

而，所以.

（說明：本質上只需構造滿足條件且的一組個不同的點，均為反例.）

③ 補充條件1：“點的縱坐標（）滿足 ”，即：

“當時，若，且點的縱坐標（）滿足，則”.此命題為真.事實上，設，

分別過作拋物線準線的垂線，垂足分別為，由，

及拋物線的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補充條件2：“點與點為偶數(shù)，關于軸對稱”，即：

“當時，若，且點與點為偶數(shù)，關于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）

 

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