Question

如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AB，B1C1的中點．

（1）求證：MN∥平面AA1C1C；

（2）若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求證：AB?平面CMN．

 

 

Answer 1

（1）詳見解析，（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）證明線面平行，需先證明線線平行.證明線線平行，需先利用平行四邊形. 取A1C1的中點P，則可得四邊形AMNP為平行四邊形，所以MN∥AP．因為AP?平面AA1C1C，MN?平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C．（2）條件中面面垂直，需先化為線面垂直. 因為平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC．CN?平面CC1B1B，CN?BC,所以CN⊥平面ABC．因為AB?平面ABC，所以CN⊥AB．因為CM?平面CMN，CN?平面CMN，CM∩CN＝C，所以AB⊥平面CMN．

試題解析：證明：（1）取A1C1的中點P，連接AP，NP．

因為C1N＝NB1，C1P＝PA1，所以NP∥A1B1，NP＝A1B1． 2分

在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB．

故NP∥AB，且NP＝AB．

因為M為AB的中點，所以AM＝AB．

所以NP＝AM，且NP∥AM．

所以四邊形AMNP為平行四邊形．

所以MN∥AP． 4分

因為AP?平面AA1C1C，MN?平面AA1C1C，

所以MN∥平面AA1C1C． 6分

（2）因為CA＝CB，M為AB的中點，所以CM⊥AB． 8分

因為CC1＝CB1，N為B1C1的中點，所以CN⊥B1C1．

在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN?BC．

因為平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC．CN?平面CC1B1B，

所以CN⊥平面ABC． 10分

因為AB?平面ABC，所以CN⊥AB． 12分

因為CM?平面CMN，CN?平面CMN，CM∩CN＝C，

所以AB⊥平面CMN． 14分

考點：線面平行判定定理，面面垂直性質定理，線面垂直判定定理