Question

如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．

（Ⅰ）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；

（Ⅱ）求面積的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），則點的橫坐標為．

點的縱坐標滿足方程，

解得

　，

其定義域為．

（Ⅱ）記，

則．

令，得．

因為當時，；當時，，所以是的最大值．

因此，當時，也取得最大值，最大值為．

即梯形面積的最大值為．