已知函數(shù)f(x)=-x3+x2+b,g(x)=alnx.
(1)若f(x)在上的最大值為,求實(shí)數(shù)b的值;
(2)若對(duì)任意x∈[1,e],都有g(shù)(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,設(shè),對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,曲線y=F(x)上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得△POQ是以O(shè)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),令f′(x)=0,確定函數(shù)的單調(diào)性與極值,從而可得函數(shù)的最大值,由此可求b的值;
(2)由g(x)≥-x2+(a+2)x,得恒成立,即,求出最小值,即可求得a的取值范圍;
(3)由條件,,假設(shè)曲線y=F(x)上存在兩點(diǎn)P,Q滿足題意,則P,Q只能在y軸兩側(cè),不妨設(shè)P(t,F(xiàn)(t))(t>0),則Q(-t,t3+t2),且t≠1,則是否存在P,Q等價(jià)于方程-t2+F(t)(t3+t2)=0在t>0且t≠1時(shí)是否有解.
解答:解:(1)由f(x)=-x3+x2+b,得f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),
令f′(x)=0,得x=0或
列表如下:
x
f′(x)-+-
f(x)極小值極大值
,
,
即最大值為,∴b=0.…(4分)
(2)由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-lnx)a≤x2-2x.
∵x∈[1,e],∴l(xiāng)nx≤1≤x,且等號(hào)不能同時(shí)取,
∴l(xiāng)nx<x,即x-lnx>0,
恒成立,即
,求導(dǎo)得,,
當(dāng)x∈[1,e]時(shí),x-1≥0,lnx≤1,x+1-2lnx>0,從而t′(x)≥0,
∴t(x)在[1,e]上為增函數(shù),∴tmin(x)=t(1)=-1,∴a≤-1.…(8分)
(3)由條件,,
假設(shè)曲線y=F(x)上存在兩點(diǎn)P,Q滿足題意,則P,Q只能在y軸兩側(cè),
不妨設(shè)P(t,F(xiàn)(t))(t>0),則Q(-t,t3+t2),且t≠1.
∵△POQ是以O(shè)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴,
∴-t2+F(t)(t3+t2)=0…(*),…(10分)
是否存在P,Q等價(jià)于方程(*)在t>0且t≠1時(shí)是否有解.
①若0<t<1時(shí),方程(*)為-t2+(-t3+t2)(t3+t2)=0,化簡(jiǎn)得t4-t2+1=0,此方程無(wú)解;  …(11分)
②若t>1時(shí),(*)方程為-t2+alnt•(t3+t2)=0,即,
設(shè)h(t)=(t+1)lnt(t>1),則
顯然,當(dāng)t>1時(shí),h′(t)>0,即h(t)在(1,+∞)上為增函數(shù),∴h(t)的值域?yàn)椋╤(1),+∞),即(0,+∞),∴當(dāng)a>0時(shí),方程(*)總有解.
∴對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,曲線y=F(x)上總存在兩點(diǎn)P,Q,使得△POQ是以O(shè)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的最值,考查恒成立問(wèn)題,考查是否存在問(wèn)題的探究,綜合性強(qiáng).
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已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱,求φ的值.

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已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
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已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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