Question

（2013•懷化三模）已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈N^*，i=1，2，…，n}（n≥2）．對于A=（a₁，a₂，…a_n）∈S_n，B=（b₁，b₂，…，b_n）∈S_n，A與B之間的距離為d（A，B）=

n

i=1

|ai-bi|．
（1）當n=5時，設A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，則a5

=1或5

；
（2）記I=（1，1，…，1）∈s_n．若A、B∈S_n，且d（I，A）=d（I，B）=P，則d（A，B）的最大值為

2P

．

Answer 1

分析：（1）直接利用新定義運算，結合d（A，B）=7把A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）代入
d（A，B）=

n

i=1

|ai-bi|求解a₅的值；
（2）由d（I，A）=d（I，B）=P，得到|a₁-1|+|a₂-1|+|a₃-1|+…+|a_n-1|=P，
|b₁-1|+|b₂-1|+|b₃-1|+…+|b_n-1|=P．然后把d（A，B）=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+…+|a_n-b_n|利用絕對值不等式放縮得答案．

解答：解：（1）A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）．
由d（A，B）=

n

i=1

|ai-bi|=7，
得d（A，B）=|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+|a₅-3|=5+|a₅-3|=7．
∴|a₅-3|=2，
解得：a₅=1或a₅=5；
（2）∵I=（1，1，…，1），A=（a₁，a₂，…a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），
由d（I，A）=d（I，B）=P，
得|a₁-1|+|a₂-1|+|a₃-1|+…+|a_n-1|=P，
|b₁-1|+|b₂-1|+|b₃-1|+…+|b_n-1|=P．
∴d（A，B）=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+…+|a_n-b_n|
=|（a₁-1）-（b₁-1）|+|（a₂-1）-（b₂-1）|+|（a₃-1）-（b₃-1）|+…+|（a_n-1）-（b_n-1）|
≤|a₁-1|+|b₁-1|+|a₂-1|+|b₂-1|+…+|a_n-1|+|b_n-1|=2P．
故答案為：（1）1或5；（2）2P．

點評：本題是新定義題，考查了兩點間的距離公式，訓練了絕對值不等式的應用，解答的關鍵是對題意的理解，是中檔題．