Question

判斷函數(shù)f（x）=log_a

1+x

1-x

，（0＜a＜1）的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析：設(shè)g（x）=

x+1

1-x

＞0，先求出函數(shù)的定義域為（-1，1），設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，由 g（x₁）-g（x₂）＜0，可得g（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．再由0＜a＜1，可得函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)．

解答：解：設(shè)g（x）=

x+1

1-x

＞0 解得-1＜x＜1，故函數(shù)的定義域為（-1，1），則函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)．
證明：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則 g（x₁）-g（x₂）=

1+x 1

1-x 1

-

1+x 2

1-x 2

=

(1+x 1)(1-x 2) - (1-x 1)(1+x 2)

(1-x 1)(1-x 2)

=

2(x 1-x 2)

(1-x 1)(1-x 2)

，
再由-1＜x₁＜x₂＜1 可得 1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴

2(x 1-x 2)

(1-x 1)(1-x 2)

＜0，故 g（x₁）＜g（x₂），g（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
再由0＜a＜1，可得log_ag（x₁）＞log_ag（x₂），故函數(shù)f（x）=log_a

1+x

1-x

在（-1，1）上是減函數(shù)．

點評：本題主要考查分式不等式的解法，函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明函數(shù)的單調(diào)性的方法，屬于中檔題．