Question

 設函數且其中為自然對數的底數。

    （Ⅰ）求與的關系；（Ⅱ）若在其定義域內為單調函數，求的取值范圍；

    （Ⅲ）設，若在上至少存在一點，使成立。求實

數的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （文）解(1)設    

則     

             由

得    即                           （2分）

于是的中點的坐標為 當不與軸垂直時

∵在雙曲線上      ∴  ①          ②

①-②得  ∴   （4分）  ∵       ∴

化簡得      當與軸垂直時， 求得也滿足上述方程       ∴點的軌跡方程是          （6分）

 (2)假設在軸上存在定點,使為常數.

當不與軸垂直時設的方程為,  代入

有則     

于是

       

                      （10分）

因為是與無關常數,所以   即此時

當與軸垂直時點，  點此時故在軸上存在定點,使為常數.                                              （12分）

（理）解：（1）由題意得

∴ 而     ∴ 即                （3分）

（2）由（1）知

   ，令         （5分）

要使在內單調，只需在內，滿足或恒成立

①  當時，合題意

②當時，        只需即，合題意

③當時，只需      即，合題意。

綜上所述，的范圍為或。                                 （7分）

（3）∵在上是減函數。     ∴   ∴

①當時，由（2）知在上遞減， 不合題意

②當時，由 ∴     由（2）知當在上增函數。∴  不合題意

③當時，由（2）知，在上增函數。

又∵在上是減函數，故只需         （9分）

而           

∴       解得 

綜上的取值范圍                                        （12分）