Question

4．已知函數f（x）=x²-2ax+1在區(qū)間[-3，2]上有最小值，記作g（a）
（Ⅰ）求g（a）的函數表達式；
（Ⅱ）求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的對稱軸，討論對稱軸和區(qū)間的關系，運用單調性可得最小值；
（Ⅱ）討論a的范圍，由一次函數和二次函數的單調性，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x-a）²+1-a²，對稱軸x=a，
當a≤-3時，f（x）在[-3，2]上是增函數，f（x）_min=f（-3）=6a+10；
當a≥2時，f（x）在[-3，2]上是減函數，f（x）_min=f（2）=-4a+5；
當-3＜a＜2時，$f{（x）_{min}}=f（a）=1-{a^2}$．
綜上f（x）在[-3，2]上的最小值g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6a+10，a≤-3}\\{1-{a}^{2}，-3＜a＜2}\\{5-4a，a≥2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ） 當a≤-3時，g（a）在（-∞，-3]上是增函數，g（a）_max=g（-3）=-8；
當a≥2時，g（a）在[2，+∞）上是減函數，g（a）_max=g（2）=-3；
當-3＜a＜2時，g（a）_max=g（0）=1．
綜上，g（a）_max=1．

點評 本題考查二次函數的最值的求法，注意討論對稱軸和區(qū)間的關系，以及函數的單調性，屬于中檔題．